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笛卡尔与解析几何      所属分类 math 浏览量 95
解析几何,又叫坐标几何,或笛卡尔几何,是运用代数方法研究几何问题,或用几何方法研究代数问题的一门数学。
通常使用二维或三维的直角坐标系,建立点与实数对之间的一一对应关系,以及曲线与方程之间的一一对应关系。


解析几何的创立,开始了用代数方法解决几何问题的新时代
从古希腊时起,在西方数学发展过程中,几何学似乎一直是至高无上的
一些代数问题,也都要几何方法解决
解析几何的产生,改变了这种传统,在数学思想上可以看作是一次飞跃
代数方程和曲线、曲面联系起来

法国数学家拉格朗日:只要代数与几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄,但当这两门科学结合在一起成为伴侣时,他们就互相吸取新鲜的活力,从而以快速的步伐走向完善.

                    
1637年,笛卡尔在其着作《方法论》的三篇附录之一“几何学”中提出了解析几何的基本方法。
这种方法对几何学来说是革命性的。
首先,使用代数技巧来解决几何问题,这意味着数与形统一起来了,代数方法与几何方法第一次真正结合了。
其次,数学家们有了一种选择,可以将几何学视为代数学的一个分支了。
而这个革命性的新进路据说是由一只苍蝇引发的灵感,这则轶事在齐斯·德福林的《数学的语言》一书中有记载。

笛卡尔身体虚弱,容易生病,非常喜欢躺在床上。
1619那个寒冷的冬季,对数学兴趣正浓的笛卡尔,躺在床上翻来覆去地思考问题时,一只在天花板上爬行的苍蝇引起了他的注意。
注视着这只苍蝇爬来爬去,笛卡尔领悟到它在任一时刻的位置,都可以用它那一时刻与两面垂直墙面的距离来确定。
就这样笛卡尔找到了用代数方程描述苍蝇的爬行路径的方法,同时也找到了一种表现直线和曲线的新方法。
这种代数方法,虽然完全不同于古希腊人所提出的几何论证,但却不会将几何研究变成代数课题,
也就是说结果依然是几何,只不过是利用代数技巧来研究形状的模式而已。

科学主要是通过替代来发展,而数学主要通过沉淀而成长,但解析几何的建立虽然也是站在巨人的肩膀上,
不过这些巨人距离笛卡尔的时代有些远,正如博耶教授所说:乃是由一次试图回归过去的努力所激发的。
《几何学》只是笛卡尔的《方法论》中的一篇附录。而笛卡尔最重要的影响,除了建立了解析几何,就是对方法论的反思了。

在17世纪那个新旧知识交替的时代,为了在一片混乱中求得确定性,笛卡尔开启了“普遍怀疑”的模式,并把目光转向了他所擅长的数学。
笛卡尔想要建立一种普遍数学,把代数、几何、算术统一起来。正是在这种“追本溯源”的“普遍”模式下,笛卡尔注意到了帕普斯的三线或四线轨迹问题。
所谓的“三线或四线轨迹问题”也就是说,给定一个平面上的三条直线(或四条直线),求出点P的轨迹,
它与其中一条直线的距离跟它与另外两条直线的距离之积成比例
或者,在四条直线的情况下,它与其中两条直线的距离之积跟它与另外两条直线的距离之积成比例。
其实,三线或四线轨迹不仅充当了发明解析几何的起跑点,而且,从欧几里得到牛顿,它都在数学中扮演了一个重要的角色。


虽然笛卡尔建立了解析几何,但解析几何的迅速发展却主要是通过荷兰的数学家——弗兰斯·范·斯霍滕(1615-1660)——及其他的弟子才得以发生的。
笛卡尔的《几何学》最初是用法文,而不是当时学者的通用语言拉丁文写成的,虽然一切有学问的人都可以通读,
但是要知道,笛卡尔是天才,他无法体会别人在理解他那些新且深奥的思想上所遇到的困难,尤其是他的阐述并不清晰。

当斯霍滕在1649年出版拉丁文版的《几何学》,并加入了一些补充材料,这些障碍才被克服。
另外,斯霍滕的两卷本的《笛卡尔的几何学》在1659-1661年出版,内容上有了极大的扩充,
其中收录了着名的荷兰省三级议会大议长让·德·维特(1629-1672)在1658年撰写的《曲线原理》。
这是一部对解析几何贡献非常广泛的作品。
作品的目的是要通过坐标轴的平移和旋转,把所有以x和 y 为未知数的二次方程简化为公认的形式。
他知道如何根据所谓的判别式究竟是负数、是零,还是正数,来识别这样一个方程所描绘的曲线是何时是一个椭圆、抛物线、双曲线。

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